Valeurs propres et vecteurs propres des matrices

Conditions:

Un vecteur propre d'une cartographie est un vecteur dont la magnitude est uniquement modifiée, mais pas la direction, par la cartographie. Le facteur par lequel la magnitude change est la valeur propre associée. L'ensemble des vecteurs propres d'une valeur propre est appelé espace propre. L'ensemble des valeurs propres d'une image est le spectre de l'image. Le rayon spectral est la valeur propre ayant la plus grande quantité. La dimension de l'espace propre est la multiplicité géométrique de la valeur propre. La multiplicité algébrique est définie par la multiplicité des zéros du polynôme caractéristique.

Définition:

Pour une matrice carrée A, chaque vecteur v est un vecteur propre si la condition suivante est remplie:

$A v = λ v$

$avec λ \in C und v \neq 0$

Le facteur λ est la valeur propre appartenant au vecteur propre v. Les valeurs propres peuvent être réelles ou complexes.

Interprétation illustrative:

En général, une matrice A fait correspondre un vecteur a à un autre vecteur b. Les vecteurs propres v se distinguent par le fait qu'ils ne sont étirés ou comprimés que par un facteur. Dans le diagramme, le vecteur v est un vecteur propre étiré par le facteur λ. Le vecteur a n'est pas un vecteur propre car la matrice change aussi la direction.

Exemple bidimensionnel

Grâce à cet exemple, la valeur propre et le vecteur propre sont expliqués clairement dans le plan.

$A = (\begin{matrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix})$

Cette matrice met en correspondance le vecteur (1,1) comme suit.

$(\begin{matrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) = 2 (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$

Ce vecteur est un vecteur propre de A, qui est étiré par le facteur 2. Ainsi, la valeur propre appartient au vecteur propre (1,1).

Pour un autre vecteur, par exemple (2,3), ce n'est pas vrai.

$(\begin{matrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix})$

Cependant, la matrice n'a pas qu'un seul vecteur propre. Par exemple, le vecteur (2,2) est également un vecteur propre.

$(\begin{matrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}) = 2 (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})$

Calcul des valeurs propres

L'équation

$A v = λ v$

peut être transformé en un système d'équations homogènes

$(A - λ E) v = 0$

Le système d'équations a une solution non triviale si et seulement si le déterminant disparaît. Que le cas échéant

$\det (A - λ E) = 0$

Le polynôme est appelé le polynôme caractéristique de A et l'équation est l'équation caractéristique de A. Si λ_i est une valeur propre de A alors les solutions de l'équation caractéristique sont les vecteurs propres de A à la valeur propre λ_i.

Exemple bidimensionnel, partie 2

Dans la deuxième partie de l'exemple, la valeur propre et le vecteur propre sont calculés. Tout d'abord, le polynôme caractéristique est déterminé.

$\det (A - λ E) =$

$((\begin{matrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) - λ (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})) = (\begin{matrix} 3 - λ & -1 \\ 1 & 1 - λ \end{matrix}) = λ^{2} - 4 λ + 4$

Les zéros du polynôme caractéristique sont les valeurs propres de A.

$λ^{2} - 4 λ + 4 = 0$

Donc la valeur propre de A est:

$λ_{i} = 2$

Les solutions du système d'équations caractéristiques fournissent les vecteurs propres.

$(A - λ_{i} E) v = ((\begin{matrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) - 2 (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})) v = (\begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = 0$

Il en résulte les deux équations suivantes.

$x - y = 0$

Cela signifie que tous les vecteurs v_i où les deux composantes sont égales, sont des vecteurs propres à la valeur propre λ_i = 2.

$v_{i} = (\begin{matrix} x \\ x \end{matrix})$

Calculateur pour le calcul du polynôme caractéristique p(λ) de la matrice A

Calcul selon l'algorithme de Faddejew-Leverrier.

B₀= 0; c_n= 1;

répéter

B_k= A B_k-1 + c_n-k+1 I; c_n-k= - tr(A B_k) / k;

jusqu'à k < Rang(A)

Calculatrice pour le calcul des valeurs propres

La calculatrice utilise l'algorithme QR pour approximer les valeurs propres. En partant d'une matrice A, une séquence de matrices orthogonales ou unitaires est déterminée de sorte que la séquence récursive de matrices converge autant que possible vers une matrice triangulaire supérieure. Comme toutes les transformations dans la récursion sont des transformations de similitude, toutes les matrices de la séquence de matrices ont les mêmes valeurs propres avec les mêmes multiples. Si une matrice triangulaire supérieure est atteinte dans la valeur limite, une forme de cisaillement de A, les valeurs propres peuvent être lues à partir des éléments diagonaux.

QR-Algorithme:

répéter

A_m= Q_mR_m

A_m+1= R_mQ_m

jusqu'à la précision < ε

Éléments de la matrice d'entrée: a₁₁, a₁₂, ...